已知f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m≠n時(shí),有
f(m)-f(n)
m-n
>0

(1)若滿足f(x+
1
2
)+f(x-1)<0,求x的取值范圍
(2)若f(x)≤t2-2at+1對(duì)任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)先用定義判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可去掉不等式中的符號(hào)“f”,解出即可;
(2)對(duì)任意的x∈[-1,1]不等式恒成立,等價(jià)于f(x)max=f(1))≤t2-2at+1,對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立,可看作關(guān)于a的一次函數(shù),借助圖象可得關(guān)于a的不等式組,解出即可;
解答:解:(1)∵f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,
m、n∈[-1,1],m≠n時(shí),有
f(m)-f(n)
m-n
>0

∴任取x1,x2∈[-1,1],且x2≥x1,
則f(x2)-f(x1)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
•(x2-x1)
>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.
∵f(x+
1
2
)+f(x-1)<0,即f(x+
1
2
)<f(1-x),
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤x-1≤1
x+
1
2
<1-x
,解得0≤x≤
1
4
,
∴x的取值范圍為[0,
1
4
).
(2)由于f(x)為增函數(shù),∴f(x)的最大值為f(1)=1,
∴f(x)≤t2-2at+1對(duì)a∈[-1,1]、x∈[-1,1]恒成立,
∴t2-2at+1≥1對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立,
∴t2-2at≥0對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立,
把y=t2-2at看作a的函數(shù),
由a∈[-1,1],知其圖象是一條線段,
∴t2-2at≥0對(duì)任意a∈[-1,1]恒成立,
∴有
t2-2×(-1)×t≥0
t2-2×1×t≥0
,即
t2+2t≥0
t2-2t≥0

解得t≤-2,或t=0,或t≥2.
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是{t|t≤-2,或t=0,或t≥2}.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查不等式解集的求法,考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意定義法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法的合理運(yùn)用
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對(duì)所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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