Question

【題目】已知點(diǎn)，的兩頂點(diǎn)，且點(diǎn)滿足

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于不同兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，試判斷直線與直線的交點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程，否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）兩直線，的交點(diǎn)恒落在直線上。

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)后求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量相等列方程，轉(zhuǎn)化為的坐標(biāo)，代入（1）中的方程可求得的方程.（3）設(shè)出直線的方程，代入的方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，寫出直線和直線的方程并求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)后可知兩直線，的交點(diǎn)恒落在直線上.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，其中.由得：

（2）設(shè)點(diǎn)，由得代入（1）中的方程得：，

即曲線的軌跡方程為.

（3）顯然過點(diǎn)的直線不垂直軸，設(shè)，同時(shí)設(shè)，.

由消整理得：.

由韋達(dá)定理得：，.

直線.

直線.

聯(lián)立①②求解交點(diǎn)，消得：.

.

把韋達(dá)定理中的及變形式代入上式得：

（與無關(guān)）.

故兩直線，的交點(diǎn)恒落在直線上.