Question

【題目】已知首項(xiàng)均為的數(shù)列，，滿足.

（1）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

試題分析：（1）由題意得，從而，由此推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） ,為正項(xiàng)數(shù)列，∴，∴,先分組求，利用錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.

試題解析：（1） ，

即，且，

∴.

（2） ，

∵為正項(xiàng)數(shù)列，∴，∴，

∴.

（2）方法一：

，

設(shè)

，

設(shè)

，

∴ ，

∴

，

∴，

∴ .

方法二：

，

∴

，

令，

∴ ，

∴

，

∴，

∴.

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列的通項(xiàng)以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.