Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）。
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）及f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）假設(shè)對(duì)任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設(shè)y=ln（e^x+a），a＞0，
則e^y=e^x+a，
∴e^x=e^y-a，a＞0，
∴x=ln（e^y-a），x，y互換得到函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)
f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；
f′（x）=。
（2）由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x
設(shè)φ（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式對(duì)于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等價(jià)于φ（x）＜m＜ψ（x）①
由，
注意到
故有
從而φ（x）與ψ（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上單調(diào)遞增
因此不等式①成立當(dāng)且僅當(dāng)
即。