Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線過點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得，利用導(dǎo)數(shù)求得斜率為，故切線為；（2），將分成四類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得最大值；（3）不妨設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，，要證明，即證明，令，即證，令（），利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零即可.

試題解析：

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得．

因?yàn)?/span>，所以切線的斜率為0，

所以切線方程為．

（2）因?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)， ， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；

②當(dāng)，即時(shí)， ， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；

③當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則；

④當(dāng)，即時(shí)， ， ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．

綜上，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ．

（3）不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以，，

可得， ，

要證明，即證明，也就是，

因?yàn)?/span>，

所以即證明，

即，

令，則，于是，

令（），

則，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，即成立，所以原不等式成立．