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若函數f(x)定義域為R,滿足對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),則稱f(x)為“V形函數”;若函數g(x)定義域為R,g(x)恒大于0,且對任意x1,x2∈R,有l(wèi)gg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2),則稱g(x)為“對數V形函數”.
(1)當f(x)=x2時,判斷f(x)是否為V形函數,并說明理由;
(2)當g(x)=x2+2時,證明:g(x)是對數V形函數;
(3)若f(x)是V形函數,且滿足對任意x∈R,有f(x)≥2,問f(x)是否為對數V形函數?證明你的結論.
【答案】分析:(1)由f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x22-(+)=2x1x2,可得2x1x2符號不定,從而可得結論;
(2)利用反證法證明.假設對任意x1,x2∈R,有l(wèi)gg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2),則可得(x1+x22+2≤(x12+2)(x22+2),即證x12x22+(x1-x22+2≥0,顯然成立;
(3)f(x)是對數V形函數,根據f(x)是V形函數,利用對任意x∈R,有f(x)≥2,證明f(x1+x2)≤f(x1)f(x2),從而可得f(x)是對數V形函數.
解答:(1)解:f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=(x1+x22-(+)=2x1x2
∵x1,x2∈R,∴2x1x2符號不定,∴當2x1x2≤0時,f(x)是V形函數;當2x1x2>0時,f(x)不是V形函數;
(2)證明:假設對任意x1,x2∈R,有l(wèi)gg(x1+x2)≤lgg(x1)+lgg(x2),
則lgg(x1+x2)-lgg(x1)-lgg(x2)=lg[(x1+x22+2]-lg(x12+2)-lg(x22+2)≤0,
∴(x1+x22+2≤(x12+2)(x22+2),
∴x12x22+(x1-x22+2≥0,顯然成立,
∴假設正確,g(x)是對數V形函數;
(3)解:f(x)是對數V形函數
證明:∵f(x)是V形函數,∴對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),
∵對任意x∈R,有f(x)≥2,∴+≤1,∴0<f(x1)+f(x2)≤f(x1)f(x2),
∴f(x1+x2)≤f(x1)f(x2),
∴l(xiāng)gf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2),
∴f(x)是對數V形函數.
點評:本題考查新定義,考查學生分析解決問題的能力,解題的關鍵是正確理解新定義.
練習冊系列答案
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2
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2
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