Question

（2012•貴陽(yáng)模擬）若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，滿(mǎn)足對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），則稱(chēng)f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域?yàn)镽，g（x）恒大于0，且對(duì)任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)gg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），則稱(chēng)g（x）為“對(duì)數(shù)V形函數(shù)”．
（1）當(dāng)f（x）=x²時(shí)，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)g（x）=x²+2時(shí)，證明：g（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)；
（3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿(mǎn)足對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，問(wèn)f（x）是否為對(duì)數(shù)V形函數(shù)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂，可得2x₁x₂符號(hào)不定，從而可得結(jié)論；
（2）利用反證法證明．假設(shè)對(duì)任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)gg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），則可得（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），即證x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，顯然成立；
（3）f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)，根據(jù)f（x）是V形函數(shù)，利用對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，證明f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），從而可得f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)．

解答：（1）解：f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（x₁+x₂）²-（x12+x22）=2x₁x₂
∵x₁，x₂∈R，∴2x₁x₂符號(hào)不定，∴當(dāng)2x₁x₂≤0時(shí)，f（x）是V形函數(shù)；當(dāng)2x₁x₂＞0時(shí)，f（x）不是V形函數(shù)；
（2）證明：假設(shè)對(duì)任意x₁，x₂∈R，有l(wèi)gg（x₁+x₂）≤lgg（x₁）+lgg（x₂），
則lgg（x₁+x₂）-lgg（x₁）-lgg（x₂）=lg[（x₁+x₂）²+2]-lg（x₁²+2）-lg（x₂²+2）≤0，
∴（x₁+x₂）²+2≤（x₁²+2）（x₂²+2），
∴x₁²x₂²+（x₁-x₂）²+2≥0，顯然成立，
∴假設(shè)正確，g（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)；
（3）解：f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)
證明：∵f（x）是V形函數(shù)，∴對(duì)任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∵對(duì)任意x∈R，有f（x）≥2，∴

1

f(x1)

+

1

f(x2)

≤1，∴0＜f（x₁）+f（x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴f（x₁+x₂）≤f（x₁）f（x₂），
∴l(xiāng)gf（x₁+x₂）≤lgf（x₁）+lgf（x₂），
∴f（x）是對(duì)數(shù)V形函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義．