Question

如圖，給出定點A(a，0)(a＞0)和直線l：x＝－1，B是直線l上的一動點，∠BOA的平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系．(注：文科題設還有條件a≠1)．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查曲線與方程、直線和圓錐曲線等基礎知識以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力． 　　解：依題可設B(－1，b)(b∈R)， 　　∴直線OB方程為y＝－bx，設點C(x，y)，則0≤x＜a． 　　∵OC平分∠AOB， 　　∴點C到OA、OB距離相等． 　　∴|y|＝．　　　　　　　(*) 　　又直線AB的方程為y＝－(x－a)． 　　∴b＝，代入(*)式得 　　y2[1＋]＝[y＋]2， 　　整理得y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0． 　　當y≠0時，(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0．(0＜x＜a) 　　當y＝0時，b＝0，∠AOB＝π，C(0，0)滿足上式． 　　∴點C的軌跡方程為(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2＝0(0≤x＜a)． 　　∵a≠1， 　　∴方程可化為＋＝1(0≤x＜a)． 　　∴當0＜a＜1時，此方程表示橢圓的一部分． 　　當a＞1時，此方程表示雙曲線一支的一部分．