Question

如圖，給出定點A(a，0)  (a>0，a≠1)和直線l：x=－1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C，求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系．

Answer 1

答案見解析

解析:

解法一：依題意，記B(－1，b) (b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx．設點C(x，y)，則有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等．根據(jù)點到直線的距離公式得．                            ①               ——4分

依題設，點C在直線AB上，故有

            ．                    ——6分

由  x－a≠0，得  ．                   ②

將②式代入①代得

，

整理得y²[(1－a)x²－2ax+(1+a)y²]=0．                                  ——9分

若y≠0，則(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)；

若y=0，則b=0，∠AOB=π，點C的坐標為(0，0)，滿足上式．

綜上得點C的軌跡方程為

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．                ——10分

∵ a≠1，

∴     (0≤x<a)．         ③                ——12分

由此知，當0<a<1時，方程③表示橢圓弧段；

當a>1時，方程③表示雙曲線一支的弧段．                             ——14分

解法二：如圖，設D是l與x軸的交點，過點C作CE⊥x軸，E是垂足．

(ⅰ)當|BD|≠0時，設點C(x，y)，則0<x<a，y≠0．

由CE∥BD得  ．                      ——3分

∵ ∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，

∴ 2∠COA=π－∠BOD．

∵           ——6分

．

∴

整理得(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)．                              ——9分

(ⅱ) 當|BD|=0時，∠BOA=π，則點C的坐標為 (0，0)，滿足上式．

綜合(ⅰ)，(ⅱ)，得點C的軌跡方程為

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．              ——10分

以下同解法一．