Question

已知f（x）=

2x2+a

x

，且f（1）=3，
（1）試求a的值，并證明f（x）在[

2

2

，+∞）上單調遞增．
（2）設關于x的方程f（x）=x+b的兩根為x₁，x₂，試問是否存在實數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意的b∈[2，

13

]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）將1代入函數(shù)關系式，即可求得；利用單調性的定義證明函數(shù)的單調性；
（2）利用韋達定理先求出|x₁-x₂|，變?yōu)椴坏仁胶愠闪�問題，再構造函數(shù)利用函數(shù)的導數(shù)求最值即可解決．

解答：解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=

2x2+1

x

，設

2

2

≤x₁＜x₂，
∴f（x₂）-f（x₁）=2x₂+

1

x2

-（2x₁+

1

x1

）=2（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（2-

1

x1x2

），
∵x₂＞x₁≥

2

2

，∴x₁x₂≥x₁²≥

1

2

，∴0＜

1

x1x2

＜2，
∴2-

1

x1x2

＞0又x₂-x₁＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[

2

2

，+∞）上單調遞增．
（2）∵f（x）=x+b，∴x²-bx+1=0，∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4

又2≤b≤

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，∴0≤|x₁-x₂|≤3，故只須當t∈[-1，1]，使m²+mt+1≥3恒成立，記g（t）=tm+m²-2，只須：

g(-1)≥0 g(1)≥0

，∴

m2-m-2≥0 m2+m-2≥0

，∴

m≥2，m≤-1 m≥1，m≤-2

，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題的處理，考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．