Question

a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，邊b和c是關(guān)于x的方程：x²-9x+25cosA=0的兩根（b＞c），D為△ABC內(nèi)任一點，點D到三邊距離之和為d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求邊a，b，c；      
（3）求d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC，利用正弦定理可得，進(jìn)而利用余弦定理求cosA，從而可求sinA的值；
（2）由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，從而b=5，c=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a=3；
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，利用間接法求出三角形面積并讓其等于6得到關(guān)于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，兩者聯(lián)立消去z后表示出y的關(guān)系式，利用距離大于等于0得到一個不等式組，畫出此不等式組所表示的平面區(qū)域，在平面區(qū)域內(nèi)得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范圍．
解答：解：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=sinBsinC
由正弦定理∴sin²B+sin²C-sin²A=bc（2分）
由余弦定理cosA=，（3分）
∴sinA=（4分）
（2）由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，則b=5，c=4（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，
則
又x、y滿足
由d=+（2x+y）得到y(tǒng)=-2x+5d-12，畫出不等式表示的平面區(qū)域得：y=-2x+5d-12是斜率為-2的一組平行線，
當(dāng)該直線過不等式表示的平面區(qū)域中的O點即原點時與y軸的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；
當(dāng)該直線過A點時，與y軸的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以滿足題意d的范圍為：
點評：本題以三角函數(shù)為載體，考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，會進(jìn)行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．