Question

已知α，β是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則以下結(jié)論哪幾個(gè)是正確的？并說(shuō)明理由．
①sinα+sinβ≥sin（α+β）；
②cosα+cosβ≥cos（α+β）；
③sinα+sinβ≥cos（α+β）；
④cosα+cosβ≥sin（α+β）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用正弦函數(shù)加法定理和余弦函數(shù)加法定理能判斷①的②正確；通過(guò)舉反例能判斷③和④錯(cuò)誤．

解答： 解：∵α，β是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，
0＜sinα≤1，0＜sinβ≤1，-1＜cosα≤1，-1＜cosβ≤1，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+sinβcosα≤sinα+sinβ，故①正確；
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ≤cosα+cosβ，故②正確；
當(dāng)α=β=0時(shí)，sinα+sinβ=0，cos（α+β）=1，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)α=

2π

3

，β=

π

6

時(shí)，cosα+cosβ=

3

2

-

1

2

，sin（α+β）=

1

2

．故④錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．