Question

已知如圖G7­8所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形，四邊形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝.

(1)求證：平面BCF∥平面AED；

(2)若BF＝BD＝a，求四棱錐A­BDEF的體積．

圖G7­8

Answer 1

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC∥AD.

∵BC⊄平面ADE，AD⊂平面AED，

∴BC∥平面ADE.

又∵四邊形BDEF是矩形，∴BF∥DE.

∵BF⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

∵BC⊂平面BCF，BF⊂平面BCF，且BC∩BF＝B，

∴平面BCF∥平面AED.

(2)如圖，連接AC，AC∩BD＝O.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD.

又∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC.

∵ED，BD⊂平面BDEF，且ED∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDEF，

∴AO為四棱錐A­BDEF的高．

又∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝，

∴△ABD為等邊三角形．

又∵BF＝BD＝a，

∴AD＝a，AO＝a，

∴S_{四邊形BDEF}＝a²，∴V_{四棱錐A­BDEF}＝·a²·a＝a³.