已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時(shí)，試證明an+cn＞2bn.

答案：
解析：

 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，∵a2+c2＞2()2=2b2,即命題成立.

（2）設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，有ak+ck＞2bk.

由于a,c為正數(shù)，所以(ak-ck)與a-c同號(hào)，即（ak-ck）(a-c)＞0,亦即ak+1+ck+1＞akc+ack,

∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+akc+ack)

=(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b＞2bk+1,

即n=k+1時(shí)成立.

由（1）、（2）,知對(duì)于n＞1且n∈N時(shí)命題成立.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱(chēng)x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱(chēng)x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時(shí)，試證明an+cn＞2bn.

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已知不相等的正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng)n＞1且n∈N時(shí)，試證明an+cn＞2bn.

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