Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F （2，0）為其右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程和離心率e；
（2）若平行于OA的直線l與橢圓有公共點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c=2，設(shè)橢圓方程為 ，

代入點(diǎn)A（2，3），

解得：a2=16，則b2=12，離心率e= =

∴橢圓方程為 ，離心率

（2）

解：設(shè)直線l的方程y= x+b，

則 ，整理得：3x2+3bx+b2﹣12=0，

由△=（3b）2﹣12（b2﹣12）≥0，解得：﹣4 ≤b≤4 ，

直線l在y軸上的截距的取值范圍[﹣4 ，4 ]

【解析】（1）由題意c=2，設(shè)橢圓方程，將A代入橢圓方程，即可求得a的值，即可求得橢圓方程及離心率；（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理△≥0，即可求得b的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．