如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設(shè)點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）借助幾何體的中線面垂直，證明BCDE為正方形，達(dá)到證明線線垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定義法做出二面角，通過解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空間向量法，通過兩個半平面的法向量借助夾角公式求解.
試題解析：證明：方法一：由平面，得，
又，則平面，
故，                3分
同理可得，則為矩形，
又，則為正方形，故．        5分

方法二：由已知可得，設(shè)為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．
（Ⅱ）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角，           8分
由已知可得，則，故，則，
又，則，              10分
故，即二面角的余弦值為 12分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，

則，，，可得，       8分
則，，易知平面
的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由得         10分
則，即二面角的余弦值為．    12分
考點：1.垂直關(guān)系的證明;2.二面角;3.空間向量.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．

（Ⅰ）設(shè)FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）設(shè)平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形是正方形，，，， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若與所成的角為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．   
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）證明：∥平面；
（Ⅲ）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱的側(cè)棱長為3，，且，、分別是棱、上的動點，且
（1）證明：無論在何處，總有；
（2）當(dāng)三棱柱.的體積取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大�。�
（II）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB//DC，∠ABC＝45o，DC＝1，AB＝2，PA＝1．

（Ⅰ）求PD與BC所成角的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大�。�

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