Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象經(jīng)過點A（）．
（1）求實數(shù)α的值；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于已知函數(shù)為冪函數(shù)，我們可以使用待定系數(shù)法進行求解，設(shè)出冪函數(shù)的解析式，再由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可得到實數(shù)α的值；
（2）根據(jù)（1）中所求的函數(shù)的解析式，我們求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式，分析x∈（0，+∞）時，導函數(shù)值的符號，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=x^a，
又∵冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（，）．
∴=^a，
解得a=-
（2）由（1）得，
則
當x∈（0，+∞）時，y′＜0恒成立
故f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求法，待定系數(shù)法，及冪函數(shù)的單調(diào)性，其中當已知函數(shù)的類型時，常用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式．