在長方體中，，，為中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得∥平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.

（Ⅰ）先證平面（Ⅱ）（Ⅲ）的長.

解析試題分析：（Ⅰ）證明：連接∵是長方體，∴平面，又平面 ∴    
在長方形中， ∴     
又∴平面，    
而平面∴      
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

,  
設平面的法向量為，則    令，則  ,
       
所以 與平面所成角的正弦值為                
（Ⅲ）假設在棱上存在一點，使得∥平面.
設的坐標為，則 因為 ∥平面
所以 ，即， ，解得，        
所以 在棱上存在一點，使得∥平面,此時的長. 
考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3， AD=1， E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br />
（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積；
（2）證明：E G ⊥D F。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設為正方形的中心，四邊形是平行四邊形，且平面平面，若.

(1)求證：平面.
(2)線段上是否存在一點，使平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，底面于，，，點是的中點.

（1）求證：側(cè)面平面；
（2）若異面直線與所成的角為，且，
求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點，且.證明：平面PAD⊥平面PDC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,中,側(cè)棱與底面垂直,,,點分別為和的中點.

（1）證明:;
（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形
（1）求證：； （2）求證：；
（3）設為中點，在邊上找一點，使平面,并求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，∥,,垂足為，是四棱錐的高。

（Ⅰ）證明：平面 平面；
（Ⅱ）若,60°,求四棱錐的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點.

（Ⅰ）求證：平面；   　
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平
面的距離為？若存在，確定點的位置；
若不存在，請說明理由.

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