Question

設A是單位圓x²+y²=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|，當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設M（x，y），A（x₀，y₀），根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標之間的關(guān)系x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|，利用點A在圓上運動即得所求曲線C的方程；根據(jù)m∈（0，1）∪（1，+∞），分類討論，可確定焦點坐標．

解答： 解：設M（x，y），A（x₀，y₀），
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x₀，|y|=m|y₀|，
∴x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|①；
∵點A在圓上運動，∴x₀²+y₀²=1②．
①代入②即得所求曲線C的方程為x2+

y2

m2

=1(m＞0，m≠1)，
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（-

1-m2

，0），（

1-m2

，0）；
m＞1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（0，-

m2-1

），（0，

m2-1

）．

點評：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學思想，計算要小心．