Question

如圖所示的螺旋線(xiàn)是用以下方法畫(huà)成的，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線(xiàn)CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別是A，B，C為圓心，AC，BA₁，CA₂為半徑畫(huà)的弧，曲線(xiàn)CA₁A₂A₃稱(chēng)為螺旋線(xiàn)的第一圈；然后又以A為圓心，AA₃半徑畫(huà)弧，如此繼續(xù)下去，這樣畫(huà)到第圈．設(shè)所得螺旋線(xiàn)CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長(zhǎng)度為S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意如果這樣畫(huà)到第n圈得到n條螺旋線(xiàn)，是由3n條弧長(zhǎng)構(gòu)成，這些弧長(zhǎng)的圓心角都為

2π

3

，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到這些弧長(zhǎng)是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線(xiàn)的總長(zhǎng)度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．

解答：解：根據(jù)弧長(zhǎng)公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…，A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長(zhǎng)度分別為

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π×2

π

，…

2π 3 ×π×3n

π

，
即對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為：

2π

3

，2×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，
此數(shù)列是以

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=n（3n+1）π．
故答案為：n（3n+1）π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長(zhǎng)成等差數(shù)列．