【題目】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）證明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

【答案】（1）見解析；（2）1:1.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，由等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)得， ，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，結(jié)合平面幾何知識確定，再根據(jù)錐體的體積公式得所求體積之比為1:1.

試題解析：

（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO.

因?yàn)?/span>AD=CD，所以AC⊥DO.

又由于是正三角形，所以AC⊥BO.

從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

（2）連結(jié)EO.

由（1）及題設(shè)知∠ADC=90°，所以DO=AO.

在中， .

又AB=BD，所以

，故∠DOB=90°.

由題設(shè)知為直角三角形，所以.

又是正三角形，且AB=BD，所以.

故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了得到函數(shù)y=cos（ x+ ）的圖象，只要把y=cos x的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A.向左平移 個(gè)單位長度
B.向右平移 個(gè)單位長度
C.向左平移 個(gè)單位長度
D.向右平移 個(gè)單位長度

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)是定義在R 且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合D=，則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是____________

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】各棱長都等于4的四面ABCD中，設(shè)G為BC的中點(diǎn)，E為△ACD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且GE∥平面ABD，若 =1，則| |= ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=3ax2﹣2（a+b）x+b，（0≤x≤1）其中a＞0，b為任意常數(shù)．
（I）若b= ，f（x）=|x﹣ |在x∈[0，1]有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（II）當(dāng)|f（0）|≤2，|f（1）|≤2時(shí)，求|f（x）|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，tanA是以﹣4為第三項(xiàng)，4為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tanB是以 為第三項(xiàng)，9為第六項(xiàng)的等比數(shù)列公比，則這個(gè)三角形是（ ）
A.鈍角三角形
B.銳角三角形
C.等腰直角三角形
D.以上都不對

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2 ， 在x=1處有極大值3，則f（x）的極小值為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.﹣3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A.（﹣1，0）
B.（﹣1，0）∪（2，+∞）
C.（2，+∞）
D.（0，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F（1，0），直線l：x=﹣1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；
（2）記Q的軌跡的方程為E，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求證：直線MN必過定點(diǎn)R（3，0）．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案