Question

如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則

OP

•

BP

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可以得到△OAB為等邊三角形，則AB=1，設BP=x，則AP=1-x，（0≤x≤1），利用向量加法的三角形法則，將則

OP

•

BP

向已知向量轉(zhuǎn)化，運用向量數(shù)量積的定義，即可得到關于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：解：∵OA=OB=1，∠AOB=60°，
∴△OAB為等邊三角形，則AB=1，
設BP=x，則AP=1-x，（0≤x≤1），
∴

OP

•

BP

=（

OA

+

AP

）•

BP

=

OA

•

BP

+

AP

•

BP

=|

OA

|•|

BP

|cos＜

OA

，

BP

＞+|

AP

|•|

BP

|cos＜

AP

，

BP

＞
=1•x•cos

π

3

+（1-x）•x•cosπ
=x2-

1

2

x
=（x-

1

4

）²-

1

16

，
∵0≤x≤1，
∴當x=

1

4

時，

OP

•

BP

取得最小值為-

1

16

．
故答案為：-

1

16

．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，解決平面向量數(shù)量積的問題，一般有三種方法：向量轉(zhuǎn)化法，坐標化法，特殊值法．解題的關鍵是運用向量加法和減法的三角形法則或平行四邊形法則，將要求的向量一步一步向已知的向量轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．