Question

某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成．按設(shè)計要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時，取得最大值？

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） ，

【解析】

試題分析：（1） 解決應(yīng)用題問題首先要解決閱讀問題，具體說就是要會用數(shù)學(xué)式子正確表示數(shù)量關(guān)系，本題解題思路清晰，就是根據(jù)扇環(huán)面的周長列函數(shù)關(guān)系式， 因?yàn)樯拳h(huán)面的周長為兩段弧長加兩段直線，利用弧長公式，得所以 ，（2） 本題解題思路清晰，就是根據(jù)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比列函數(shù)關(guān)系式，再由導(dǎo)數(shù)或基本不等式求最值. 裝飾總費(fèi)用為直線部分的裝飾費(fèi)用與弧線部分的裝飾費(fèi)用之和，而花壇的面積為大扇形面積與小扇形面積之差，求最值時要注意定義域范圍的限制.

試題解析：（1）設(shè)扇環(huán)的圓心角為?，則，所以， 4分

（2） 花壇的面積為． 7分

裝飾總費(fèi)用為， 9分

所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的， 12分

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)t=18時取等號，此時．

答：當(dāng)時，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大． 15分

考點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系式，弧長公式，基本不等式求最值