Question

已知橢圓E：

x2

9

+

y2

4

=1及點M（1，1）．
（1）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求當點M為弦AB中點時的直線l方程；
（2）直線l過點M與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡；
（3）（文）斜率為2的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，求弦AB的中點軌跡．
（3）（理）若橢圓E上存在兩點A，B關于直線l：y=2x+m對稱，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程可得

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1，利用點差法及點M（1，1）為弦AB中點，即可求得點M為弦AB中點時的直線l方程；
（2）設弦AB的中點為（x，y），則由（1）知-

4x

9y

=

y-1

x-1

，從而可得弦AB的中點軌跡；
（3）（文）設弦AB的中點為（x，y），則由（1）知2=-

4x 9y

，從而可得弦AB的中點軌跡；
（理）設A，B的中點M為（x₀，y₀），利用兩點A，B關于直線l：y=2x+m對稱，可得：x0=

9

10

m，y0=

4

5

m，利用點M必在橢圓內(nèi)部，可求m的取值范圍．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程可得

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1
兩式相減可得

y1-y2 x1-x2

=-

4(x1+x2) 9(y1+y2)

∵點M（1，1）為弦AB中點，∴

y1-y2 x1-x2

=-

4

9

∴點M為弦AB中點時的直線l方程為y-1=-

4

9

（x-1），即9y+4x-13=0
（2）設弦AB的中點為（x，y），則由（1）知-

4x

9y

=

y-1

x-1

，即9y²+4x²-9y-4x=0，∴弦AB的中點軌跡為橢圓；
（3）（文）設弦AB的中點為（x，y），則由（1）知2=-

4x 9y

，即9y+2x=0，∴弦AB的中點軌跡為直線；
（理）設A，B的中點M為（x₀，y₀），k_AB=-

1

2

=-

4x0

9y0

①
又中點M在直線l：y=2x+m上，y₀=2x₀+m②
由①②得：x0=

9

10

m，y0=

4

5

m
點M必在橢圓內(nèi)部，所以有

x02

9

+

y02

4

＜1
∴

9

100

m2+

4

25

m2＜1
∴m²＜4
解得：-2＜m＜2

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查點差法的運用，考查對稱性，解題的關鍵是正確運用點差法．