Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x（9≤x≤11）元時(shí)，一年的銷售量為（12-x）²萬(wàn)件．
（1）求分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令L′（x）=0便可求出極值點(diǎn)，從而求出時(shí)最大利潤(rùn)，再根據(jù)a的取值范圍分類討論當(dāng)a取不同的值時(shí)，最大利潤(rùn)各為多少．

解答：解：（1）分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x-3-a）（12-x）²，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12-x）²+2（x-3-a）（12-x）×（-1）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0得x=6+

2

3

a或x=12（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+

2

3

a≤

28

3

．
在x=6+

2

3

a兩側(cè)L′的值由正值變負(fù)值．
所以，當(dāng)8≤6+

2

3

a≤9，即3≤a≤

9

2

時(shí)，
L_max=L（9）=（9-3-a）（12-9）²=9（6-a）；
當(dāng)9＜6+

2

3

a≤

28

3

，即

9

2

＜a≤5時(shí)，
L_max=L（6+

2

3

a）=（6+

2

3

a-3-a）[12-（6+

2

3

a）]²
=4（3-

1

3

a）³，
Q(a)=

9(6-a)3≤a≤ 9 2 4(3- 1 3 a)3 9 2 ＜a≤5

即當(dāng)3≤a≤

9

2

時(shí)，當(dāng)每件售價(jià)為9元，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=9（6-a）萬(wàn)元；
當(dāng)

9

2

＜a≤5時(shí)，當(dāng)每件售價(jià)為（6+

3

2

a）元，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q（a）=4（3-

1

3

a）³萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得函數(shù)的最值問(wèn)題，是各地高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意自變量的取值范圍以及分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，屬于中檔題．