(2013•棗莊一模)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納a元(a為常數(shù),2≤a≤5)的管理費,根據(jù)多年的統(tǒng)計經(jīng)驗,預計當每件產(chǎn)品的售價為x元時,產(chǎn)品一年的銷售量為
kex
(e為自然對數(shù)的底數(shù))萬件,已知每件產(chǎn)品的售價為40元時,該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件.經(jīng)物價部門核定每件產(chǎn)品的售價x最低不低于35元,最高不超過41元.
(1)求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L(x)萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時,該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
參考公式:(cax+b)′=aeax+b(a、b為常數(shù))
分析:(1)由每件產(chǎn)品的售價為40元時,該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件,代入可得k值,進而根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量得到該產(chǎn)品一年的利潤L(x)萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關(guān)系式;
(2)由(1)中所得函數(shù)的解析式,求導后分析函數(shù)的單調(diào)性,進而分析出該產(chǎn)品一年的利潤L(x)的最大值.
解答:解:(1)由題意,該產(chǎn)品一年的銷售量為y=
k
ex

將x=40,y=500代入得k=500e40
故該產(chǎn)品一年的銷售量為y=500e40-x…2分
故L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41)…4分
(2)由(1)得,L′(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x),(35≤x≤41)…5分
①當2≤a≤4時,L′(x)≤500e40-x(31+4-35)=0,當且僅當a=4,x=35時取等號
故L(x)在[35,41]上單調(diào)遞減
故L(x)的最大值為L(35)=500(5-a)e5…8分
②當4<a≤5時,L′(x)>0?35≤x<31+a,
L′(x)<0?31+a<x≤41
故L(x)在[35,31+a]上單調(diào)遞增,在[31+a,41]上單調(diào)遞減
故L(x)的最大值為L(31+a)=500e9-a…8分
綜上所述,當2≤a≤4時,每件產(chǎn)品的售價為35元時,該產(chǎn)品一年的利潤最大,最大利潤為500(5-a)e5萬元;當4<a≤5時,每件產(chǎn)品的售價為(31+a)元時,該產(chǎn)品一年的利潤最大,最大利潤為500e9-a萬元;
點評:本題考查的知識點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,其中求出函數(shù)的解析式是解答(1)的關(guān)鍵,利用導數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性是解答(2)的關(guān)鍵.
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3
),PA是⊙O的切線,求橢圓C的方程;
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PA
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