Question

用三塊等寬的長(zhǎng)方形木板,做成一個(gè)斷面為梯形的水槽(如下圖).問(wèn)斜角φ為多大時(shí),水槽的截面積最大?并求出最大截面積.

Answer 1

分析：借助圖形的特征,合理選擇條件間的聯(lián)系方式,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最大值.

解：設(shè)木板的寬為a,水槽的高為h,截面積為S,則S=(a+a+2acosφ)h=(2a+2acosφ)·a

sinφ,即S=a²(1+cosφ)sinφ(0＜φ＜).

S′=a²［-sin²φ+(1+cosφ)cosφ］=a²［-(1-cos²φ)+cosφ+cos²φ］=a²(2cosφ-1)(cosφ+1).

令S′=0,得cosφ=,cosφ=-1(不合題意,舍去).

故在(0,)內(nèi),只取φ=.

所以φ=時(shí),水槽的截面積最大,

它的值為S=a²(1+cos)·sin=a².

答：φ為時(shí),截面積最大,最大截面積為a².

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù),把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,找出問(wèn)題的主要關(guān)系,并把問(wèn)題的關(guān)系近似化,形式化,抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,再劃歸為常規(guī)問(wèn)題,選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.