Question

P是拋物線y²=2x上一點(diǎn)，P到點(diǎn)A(3，

10

3

)的距離為d₁，P到直線x=-

1

2

的距離為d₂，當(dāng)d₁+d₂取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A．（0，0）
• B．（2，2）
• C．（1，

  2

  ）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-

1

2

，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，0)根據(jù)拋物線定義，P到準(zhǔn)線的距離d₂等于P到其焦點(diǎn)F(

1

2

，0)的距離．
則d₁+d₂取得最小值時(shí)，P一定在AF的連線上，且在第一象限．求出AF的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-

1

2

，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

1

2

，0)
根據(jù)拋物線定義，P到準(zhǔn)線的距離d₂等于P到其焦點(diǎn)F(

1

2

，0)的距離．則d₁+d₂取得最小值時(shí)，P一定在AF的連線上，且在第一象限．
∵直線AF方程：

y-0

10 3 -0

=

x- 1 2

3- 1 2

即4x-3y-2=0
與拋物線方程y²=2x聯(lián)立，可得2y²-3y-2=0
∴y=2或y=-

1

2

∵P在第一象限
∴y=2
∴x=2
∴交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）
故選B．

點(diǎn)評：本題以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查拋物線定義的運(yùn)用，考查直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．