Question

已知點(diǎn)P是拋物線y²=2x上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸垂線PM，垂足為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A(

7

2

，4)，則|PA|+|PM|的最小值是（　�。�

• A．

  11

  2

• B．4
• C．

  9

  2

• D．5

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程得到拋物線焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），并且作出它的準(zhǔn)線：x=-

1

2

，延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)N，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義可得得：|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

．再由三角形兩邊之和大于第三邊可得：P點(diǎn)滿足|PA|+|PF|≥
|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落在線段AF上時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，最后根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式得到|PA|+|PF|的最小值為5，同時(shí)|PA|+|PM|取到最小值5-

1

2

=

9

2

．

解答：解：∵拋物線方程為y²=2x
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（

1

2

，0），準(zhǔn)線為x=-

1

2

延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于點(diǎn)N，連接PF、AF，根據(jù)拋物線的定義得：|PF|=|PN|
∴|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

當(dāng)P點(diǎn)不在AF上時(shí)，有|PA|+|PF|＞|AF|；
當(dāng)P點(diǎn)剛好落在AF上時(shí)，有|PA|+|PF|=|AF|
∴P點(diǎn)滿足|PA|+|PF|≥|AF|，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P落在線段AF上時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，
所以|PA|+|PF|的最小值為

( 7 2 -  1 2 )2+(4-0) 2

=5，
同時(shí)|PA|+|PM|的最小值是|PA|+|PN|-

1

2

=|PA|+|PF|-

1

2

=

9

2

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)為M，求點(diǎn)P到M點(diǎn)和A（3.5，4）的距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．