Question

如圖，已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心，求證：PH⊥平面ABC.

Answer 1

思路解析：根據(jù)判定定理，要證線面垂直，需證直線和平面內(nèi)的兩條直線垂直.根據(jù)H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC兩兩垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，BC垂直于平面PAH內(nèi)的相交直線PA和AH.

證明：∵H是△ABC的垂心，

∴AH⊥BC.                                                              ①

∵PA⊥PB，PB⊥PC，PB∩PC=P,

∴PA⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，PA⊥BC，                                    ②

由①②知，BC⊥平面PAH，從而BC⊥PH，

同理，AB⊥PH，

∴PH⊥平面ABC.

方法歸納  根據(jù)所求證的結(jié)論尋求所需的已知條件，看題目是否已經(jīng)直接給出，或者從題目所給條件經(jīng)過推理能夠得出，這是分析問題的重要方法，稱為執(zhí)果索因；也可從條件出發(fā)，將這一條件可能得出的結(jié)論一一列出，從中篩選出我們證題所需要的結(jié)論，這種分析問題的方法稱為由因?qū)Ч�，它發(fā)散性較強(qiáng).