Question

【題目】如圖，在四面體中，E是線段的中點(diǎn)，，，.

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取線段的中點(diǎn)，連接，．證明．推出平面，然后證明．

（2）解法一：令，點(diǎn)為原點(diǎn)，射線、、分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面與平面所成銳二面角的余弦值．

解法二：令，取中點(diǎn)，則，，說明為二面角的平面角，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解，平面與平面所成銳二面角的余弦值即可．

（1）取線段的中點(diǎn)F，連接、.

因?yàn)?/span>E是線段的中點(diǎn)，所以.又，所以.

因?yàn)?/span>，F是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，，

所以平面，而平面，

所以.

（2）解法一：

令，則，

那么，，

所以，所以.

又，，故可以以點(diǎn)F為原點(diǎn)，射線、、分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，，

所以，，.

設(shè)平面、平面的法向量分別為，，

由，得，取，則.

由，得，取，則.

所以.

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解法二：

令，由已知及（1）可得：，

所以，均為棱長為a的正三角形.

取中點(diǎn)G，則，，故為二面角的平面角，

在中，，，

由余弦定理可得：，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.