Question

已知函數(shù)f(x)=ex-

1

2

x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）如果函數(shù)g(x)=f(x)-(a-

1

2

)x2有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，證明：a＞

e

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以求出a的值，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案；
（2）將函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'（x）＞0在R上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成a＜e^x-x在R上恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求h（x）=e^x-x的最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)x₁，x₂是g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，可以得到x₁，x₂是g′（x）=0的兩個(gè)根，根據(jù)關(guān)系，利用分析法，
將證明不等式轉(zhuǎn)化為a=

ex

2x+1

，即求p(x)=

ex

2x+1

的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-

1

2

x²-ax，
∴f′（x）=e^x-x-a，
∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1-a，
∵切線方程為y=2x+b，則k=2，
∴1-a=2，解得a=-1，
∴f（x）=e^x-

1

2

x²+x，
∴f（0）=1，即切點(diǎn)（0，1），
∴1=2×0+b，解得b=1；
（Ⅱ）由題意f'（x）＞0即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立．
設(shè)h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1．
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）、h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）-（a-

1

2

）x²，
∴g（x）=e^x-

1

2

x²-ax-ax²+

1

2

x²=e^x-ax²-ax，
∴g′（x）=e^x-2ax-a，
∵x₁，x₂是函數(shù)g（x）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)x₁＜x₂），
∴e^x-2ax-a=0（*）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，方程（*）不成立
則a=

ex

2x+1

，令p(x)=

ex

2x+1

，則p′(x)=

ex(2x-1)

(2x+1)2

由p′（x）=0得：x=

1

2

當(dāng)x變化時(shí)，p（x），p′（x）變化情況如下表：

x	(-∞，- 1 2 )	(- 1 2 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
p（x）	-	-	0	+
p′（x）	單調(diào)遞減	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x∈(-∞，-

1

2

)時(shí)，方程（*）至多有一解，不合題意；
當(dāng)x∈(-

1

2

，+∞)時(shí)，方程（*）若有兩個(gè)解，則a＞p(

1

2

)=

e

2

所以，a＞

e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線某點(diǎn)處的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．同時(shí)考查了不等式的證明，證明過(guò)程中運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù)的思想，是綜合性較強(qiáng)的一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題．屬于難題．