Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2x-

x2-1

(x≥1)
（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求出最大的實數(shù)a，使得f（x）≥ax（x≥1）恒成立．

Answer 1

分析：（1）由x≥1，我們易將原不等式化為2x-2≥

x2-1

(x≥1)，根據(jù)不等式的性質(zhì)a≥b≥0?a²≥b²≥0，我們將不等式兩邊平方后即可將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，進(jìn)行即可求解．
（2）使得f（x）≥ax（x≥1），即(2-a)x≥

x2-1

(x≥1)恒成立，由x≥1，我們易得2-a≤0，即a≥2時，不等式不可能恒成立，故我們僅須討論2-a＞0，即a≤2時的情況，即可得到答案．

解答：解：（1）若f（x）≥2
即2x-

x2-1

≥2(x≥1)
即2x-2≥

x2-1

(x≥1)
即4x²-8x+4≥x²-1（x≥1）
即3x²-8x+5≥0（x≥1）
解得{x|x=1，或x≥

5

3

}
（2）若f（x）≥ax（x≥1）恒成立．
即2x-

x2-1

≥ax(x≥1)恒成立，
即(2-a)x≥

x2-1

(x≥1)恒成立，
若a≥2，則原不等式不可能恒成立，
若a＜2，則原不等式可化為（2-a）²x²≥x²-1（x≥1）
即（a²-4a+3）x²+1≥0（x≥1）恒成立
即a²-4a+3≥0
解得a≤1
故滿足條件的a的最大值為1．

點評：本題考查的知識點是根式不等式的解法及不等式恒成立問題，在解答根式不等式時，根據(jù)a≥b≥0?a²≥b²≥0，去掉根號是解答的關(guān)鍵．