Question

已知f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

（1）求f（0）的值．
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（3）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間．
（4）求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及取最大值、最小值時自變量x的集合．

Answer 1

分析：（1）將x=0代入解析式中計算即可求出f（0）的值；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間，即可求出函數(shù)的遞減區(qū)間；
（4）根據(jù)正弦函數(shù)的最大值與最小值，確定出f（x）的最大值與最小值，以及此時x的集合即可．

解答：解：（1）將x=0代入得：f（0）=

1

2

；
（2）f（x）=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（3）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得到

π

6

+kπ≤x≤

4π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

4π

3

+kπ]，k∈Z；
（4）∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+1≤2，即0≤f（x）≤2，
令2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，得到x=-

π

3

+kπ，k∈Z；令2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，得到x=

π

6

+kπ，k∈Z，
則f（x）最小值為0，此時x集合為{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}；f（x）最大值為2，此時x的集合為{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．