Question

【題目】在正三棱錐S﹣ABC中，AB= ，M是SC的中點，AM⊥SB，則正三棱錐S﹣ABC外接球的球心到平面ABC的距離為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：取AC的中點N，連接BN，因為SA=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN． 故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．
又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC
故得到SB，SA，SC是三條兩兩垂直的．可以看成是一個正方體切下來的一個正三棱錐．
故外接圓直徑2R=
∵AB= ，∴SA=1．
那么：外接球的球心與平面ABC的距離為正方體對角線的 ，即d= ．
所以答案是： ．

【考點精析】利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方．