Question

已知不等式f（x）=|x-2|-|x-1|
（Ⅰ）若f（x）≤m的解集為R，求m的最小值；
（Ⅱ）若f（x）最大值為n且a+b+c=n，求證：a²+b²+c²≥

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．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值三角不等式求出f（x）的最大值，然后轉(zhuǎn)化求出m的范圍；
（Ⅱ）利用已知條件求出1的平方，利用重要不等式即可證明．

解答： （Ⅰ）解：∵||x-2|-|x-1||≤|（x-2）-（x-1）|=1，
即有-1≤|x-2|-|x-1|≤1，
由于f（x）≤m的解集為R，
∴m≥1，即m的最小值為1．
（Ⅱ）證明：由-1≤f（x）≤1，
可得f（x）的最大值為1，即n=1．
由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ac，
即有a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由a+b+c=1，得1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

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．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，不等式的證明，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．