Question

已知數(shù)列{a_n}中a₃=2，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

a

=（2a_n-1），

b

=（1，2a_n+1），且

a

•

b

=-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•2²ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算可得：2a_n-2a_n+1=-1，化為an+1-an=

1

2

，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）b_n=a_n•2²ⁿ=（n+1）•2^2n-1．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

=（2a_n，-1），

b

=（1，2a_n+1），且

a

•

b

=-1．
∴2a_n-2a_n+1=-1，
化為an+1-an=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₃=2，公差為

1

2

．
∴a_n=a3+(n-3)•

1

2

=2+

1

2

(n-3)=

n+1

2

．
∴S_n=

n(1+ n+1 2 )

2

=

n2+3n

4

．
（2）b_n=a_n•2²ⁿ=（n+1）•2^2n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2×2+3×2³+4×2⁵+…+（n+1）•2^2n-1，
4T_n=2×2³+3×2⁵+…+n•2^2n-1+（n+1）•2²ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=2²+2³+2⁵+…+2^2n-1-（n+1）•2²ⁿ⁺¹=2+

2(4n-1)

4-1

-(n+1)•2•4n=

4-(4+6n)×4n

3

，
∴T_n=

(4+6n)×4n-4

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．