Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，前n項和為S_n，且S_n=

an(an+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=-

2Sn

(n+1)•2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用2S_n=an2+a_n，知當n≥2時，2S_n-1=an-12+a_n-1，兩式相減，可求得a_n-a_n-1=1，n≥2，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）依題意，易求b_n=-

n

2n

，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答： 解：（1）Sn=

an(an+1)

2

，n∈N+，當n=1時，S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1…（1分）
∵2S_n=an2+a_n，
當n≥2時，2S_n-1=an-12+a_n-1，
兩式相減得：2an=2(Sn-Sn-1)=

a

2 n

-

a

2 n-1

+an-an-1，…（3分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴a_n=n…（6分）
（2）由（1）Sn=

n(n+1)

2

，
∴bn=-

2Sn

(n+1)•2n

=-

n

2n

，…（8分）
∴-Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，…（9分）
-2Tn=1+

2

2

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，…（10分）
∴Tn=-1-

1

2

-…-

1

2n-1

+

n

2n

=-

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2n

=-2+

1

2n-1

+

n

2n

=-2+

n+2

2n

．…（12分）．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與其通項公式的應(yīng)用，考查錯位相減法求和，屬于中檔題．