Question

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當時，曲線上對應(yīng)的點為．以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（I）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（II）設(shè)曲線與的公共點為，，求的值．

Answer 1

【答案】（I）的普通方程為，的直角坐標方程為；（II）.

【解析】

試題分析：（I）消去參數(shù)即得曲線的普通方程，根據(jù)二倍角公式及，消去得到曲線的直角坐標方程；（II）易求曲線的參數(shù)方程為，代入曲線的直角坐標方程得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理即可求得的值.

試題解析：（I）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

所以曲線的普通方程為．

又曲線的極坐標方程為，

所以曲線的直角坐標方程為

（II）當時，，，所以點．

由（I）知曲線是經(jīng)過點的直線，設(shè)它的傾斜角為，則，

所以，，

所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將上式代入，得，

所以