【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)
的直線交拋物線于
兩點(diǎn),拋物線在
處的切線交于
.
(1)求證:;
(2)設(shè),當(dāng)
時(shí),求
的面積
的最小值.
【答案】(1)見(jiàn)證明;(2)
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為
,代入拋物線方程
中,根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可求出點(diǎn)E的坐標(biāo),根據(jù)斜率的關(guān)系即可證明;(2)根據(jù)向量結(jié)合韋達(dá)定理可得
,再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求三角形的面積公式表示出
,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.
(1)顯然斜率存在,設(shè)直線
的方程
,
代入拋物線方程中,得
,
設(shè),由韋達(dá)定理得到
,
∵,∴
,∴直線
的斜率為
,
易知切線方程
,切線
的方程
,
當(dāng)時(shí),聯(lián)立求得:
,故
,
. ,∴
,
又當(dāng)時(shí),顯然有
.
所以.
(2)由,得
,結(jié)合韋達(dá)定理,
,從而
,
又,
,
,
由于在區(qū)間
上為減函數(shù),
因此當(dāng)有最小值
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知非常數(shù)的整系數(shù)多項(xiàng)式滿(mǎn)足
.①證明:對(duì)所有正整數(shù)
,
至少有五個(gè)不同的質(zhì)因數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代的偉大科學(xué)家,他在5世紀(jì)末提出祖暅:“冪勢(shì)即同,則積不容異”,意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截,若截面面積都相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等. 祖暅原理常用來(lái)由已知幾何體的體積推導(dǎo)未知幾何體的體積,例如由圓錐和圓柱的的體積推導(dǎo)半球體的體積,其示意圖如圖所示,其中圖(1)是一個(gè)半徑為R的半球體,圖(2)是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得到的幾何體. (圓柱和圓錐的底面半徑和高均為R)
利用類(lèi)似的方法,可以計(jì)算拋物體的體積:在x-O-y坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線C的方程為y=1-x2 (-1x
1),將曲線C圍繞y軸旋轉(zhuǎn),得到的旋轉(zhuǎn)體稱(chēng)為拋物體. 利用祖暅原理可計(jì)算得該拋物體的體積為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)
作直線
與拋物線交于點(diǎn)
、
.
(1)求證:不是直角三角形.
(2)當(dāng)的斜率為
時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)
,使
為直角三角形?若存在,求出所有的點(diǎn)
;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
R).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),當(dāng)
時(shí),函數(shù)
的最大值為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將的方格表中的某些小方格染黑,使得不存在由三個(gè)黑色小方格構(gòu)成的
形(共四種情形).求最多有多少個(gè)小方格被染色?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第35屆牡丹花會(huì)期間,我班有5名學(xué)生參加志愿者服務(wù),服務(wù)場(chǎng)所是王城公園和牡丹公園.
(1)若學(xué)生甲和乙必須在同一個(gè)公園,且甲和丙不能在同一個(gè)公園,則共有多少種不同的分配方案?
(2)每名學(xué)生都被隨機(jī)分配到其中的一個(gè)公園,設(shè)分別表示5名學(xué)生分配到王城公園和牡丹公園的人數(shù),記
,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)直線與直線
交于P點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線過(guò)P點(diǎn),且與直線
平行時(shí),求直線
的方程.
(Ⅱ)當(dāng)直線過(guò)P點(diǎn),且原點(diǎn)O到直線
的距離為1時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
且橢圓上存在一點(diǎn)
,滿(mǎn)足
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知分別是橢圓
的左、右頂點(diǎn),過(guò)
的直線交橢圓
于
兩點(diǎn),記直線
的交點(diǎn)為
,是否存在一條定直線
,使點(diǎn)
恒在直線
上?
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