Question

設函數(shù)f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1，x∈R
（1）求f（x） 最小正周期T；
（2）求 f（x） 單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，且滿足條件：x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，求N_n=y₁+y₂+…+y_n 的值．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和把函數(shù)化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求解即可．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n） （n∈N^*）在函數(shù)f（x）的圖象上，且滿足條件：x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，推出n為奇數(shù)時P_n位于圖象最高處，當n為偶數(shù)時P_n位于圖象最低處，求出結(jié)果．

解答：解：函數(shù)f（x）=2cosx （cosx+

3

sinx）-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)（4分）
（1）T=

2π

2

=π．（3分）
（2）由2kp-

π

2

£2x+

π

6

£2kp+

π

2

，得：kp-

π

3

£x£kp+

π

6

（k?Z），
f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[kp-

π

3

，kp+

π

6

]（k?Z）．（3分）
（3）∵x₁=

π

6

，x_n+1-x_n=

T

2

，
∴當n為奇數(shù)時P_n位于圖象最高處，當n為偶數(shù)時P_n位于圖象最低處，
∴當n為奇數(shù)時，N_n=2，
當n為偶數(shù)時，N_n=0．（4分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的周期的求法，單調(diào)增區(qū)間的求法，注意基本函數(shù)基本知識的應用．