Question

拋物線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)均在⊙C上，
（1）求⊙C的方程；
（2）若⊙C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)且OA⊥OB，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）求出拋物線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心與交點(diǎn)的距離相等，求出圓心與半徑，即可求出圓的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可得

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0．由

y=x2-6x+1 x-y+a=0

，可得 x²-7x+1-a=0，再利用韋達(dá)定理求得 x₁+x₂和x₁•x₂的值，再由
x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得a的值．

解答： 解：（1）由于拋物線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，1）、（3±2

2

）均在⊙C上，
設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（3，b），則

9+(b-1)2

=

(3-3+2 2 )2+(b-0)2

=r²，
∴b=1，r=3，
∴圓方程為（x-3）²+（y-1）²=9．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可得OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0．
由

y=x2-6x+1 x-y+a=0

，可得 x²-7x+1-a=0，
∴x₁+x₂=7，x₁•x₂=1-a．
故有x₁•x₂+y₁•y₂=1-a+（x₁+a）（x₂+a）=1-a+x₁•x₂+a（x₁+x₂）=2-2a+7a=0．
a=-

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，考查圓的方程，求出圓的圓心與半徑是關(guān)鍵，直線和圓相交的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．