Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）記的最大值為，若且，求證：；

（3）若，記集合中的最小元素為，設(shè)函數(shù)，求證：是的極小值點.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）見解析；（3）見解析

【解析】分析：（1）分別解不等式和可得的增區(qū)間和減區(qū)間.

（2），根據(jù)得到，把該式變形為，證明函數(shù)不等式在恒成立即可.

（3）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性及可得，因此 ，分別討論函數(shù)在的單調(diào)性可判斷是的極小值點.

詳解：（1），

因為由，得；

由，得；

所以，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（2）由（1）知，.

∴，∴，

∴，∴ ，∴，

設(shè)，則，

所以，在上單調(diào)遞增，，則，因，

故，，所以.

（3）由（1）可知，在區(qū)間單調(diào)遞增，又時，，

易知，在遞增，，

∴，且時，；時，.

當(dāng)時，

于是時，， （所以，若證明，便能證明），

記，

則，∵，∴，

∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，

∵，

∴在 內(nèi)單調(diào)遞增.

∴，于是時，

，

∴在遞減.

當(dāng)時，相應(yīng)的，

∴在遞增.故是的極小值點.