設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+5,且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求實數(shù)c的值;
(Ⅱ)判斷是否存在實數(shù)b,使得方程f(x)-b2x=0恰有一個實數(shù)根.若存在,求b的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(I)曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與x軸平行,可得f'(0)=0.從而可求
(II)若使方程f(x)-b2x=x3+bx2-b2x+5=0恰有一個實數(shù)根.構(gòu)造函數(shù)g(x)=x3+bx2-b2x+5,只需g(x)極大值<0或g(x)極小值>0,利用導(dǎo)數(shù)可求
解答:解:(I)∵曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與x軸平行,∴f'(0)=0.
又f'(x)=3x2+2bx+c,則f'(0)=c=0.
(II)由c=0,方程f(x)-b2x=0可化為x3+bx2-b2x+5=0,假設(shè)存在實數(shù)b使得此方程恰有一個實數(shù)根,則令g(x)=x3+bx2-b2x+5,只需g(x)極大值<0或g(x)極小值>0
∴g'(x)=3x2+2bx-b2=(3x-b)(x+b)令g'(x)=0,得x1=
b
3
,x2=-b
①若b=0,則方程f(x)-b2x=0可化為x3+5=0,此方程恰有一個實根x=
35

②若b>0,則
b
3
>-b
,列表:
x (-∞,-b) -b (-b,
b
3
)
b
3
(
b
3
,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 極大值 極小值
∴g(x)極大值=g(-b)=b3+5>0,g(x)極小值=g(
b
3
)=-
5b3
27
+5

-
5b3
27
+5>0
,解之得0<b<3
③若b<0,則
b
3
<-b
,列表:
x (-∞,
b
3
)
b
3
(
b
3
,-b)
-b (-b,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 極大值 極小值
g(x)極大值=g(
b
3
)=-
5b3
27
+5>0
,g(x)極小值=g(-b)=b3+5
∴b3+5>0,解之得b>-
35

-
35
<b<0

綜合①②③可得,實數(shù)b的取值范圍是(-
35
,3)
點評:本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解曲線的在某點處的切線的斜率,函數(shù)的極大(。┲档那蠼猓要注意方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用.
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12
,1)
內(nèi)不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍.

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