Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)時，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，當(dāng)x∈[-4，4]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得f′（x）=3（x-

a

3

）（x+a）（a＞0），所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（

a

3

，+∞），減區(qū)間為（-a，

a

3

），所以函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-a）=0或f（

a

3

）=0，因?yàn)閍＞0所以a=3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，

a

3

∈[1，2]，當(dāng)4≤a≤6時，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[-4，

a

3

）上單調(diào)遞減，在（

a

3

，4]上單調(diào)遞增，所以f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得當(dāng)3≤a＜4時，f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；

解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞

a

3

，由f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（

a

3

，+∞），減區(qū)間為（-a，

a

3

），
即當(dāng)x=-a時，函數(shù)取極大值f（-a）=a³+5，
當(dāng)x=

a

3

時，函數(shù)取極小值f（

a

3

）=-

5

27

a3+5，
又f（-2a）=-2a³+5＜f（

a

3

），f（2a）=10a³+5＞f（-a），
所以函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-a）=0或f（

a

3

）=0，
注意到a＞0，所以f（

a

3

）=-

5

27

a3+5=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，

a

3

∈[1，2]，
當(dāng)-a≤-4即4≤a≤6時，
函數(shù)f（x）在[-4，

a

3

）上單調(diào)遞減，在（

a

3

，4]上單調(diào)遞增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，
所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59；
當(dāng)-a＞-4即3≤a＜4時，
函數(shù)f（x）在[-4，-a）上單調(diào)增，在（-a，

a

3

）上單調(diào)減，在（

a

3

，4]上單調(diào)增，
注意到f（-a）-f（4）=a³+4a²-16a-64=（a+4）²（a-4），
所以f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；
綜上，f（x）_max=

4a2+16a-59 ，4≤a≤6 -4a2+16a+69，3≤a＜4

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值問題通過極值求出參數(shù)，利用參數(shù)的范圍與定義域的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值．本題利用了分類討論的思想這是數(shù)學(xué)上的一個很主要的數(shù)學(xué)思想．