Question

已知向量，設(shè)函數(shù)，x∈[0，π]
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可先由向量的數(shù)量積運算及三角恒等變換，得出，由此函數(shù)是一個復合函數(shù)，分類討論cosx的取值范圍，利用復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷規(guī)則判斷出單調(diào)性區(qū)間；
（2）法一：f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個不同的根α，β，可得有兩個根，此兩根為cosα，cosβ，由根與系數(shù)的關(guān)系，再由由到角三角函數(shù)關(guān)系，解出易求cos（α+β）的值；
法二：f（x）=0在區(qū)間[0，π]上有兩個不同的根α，β，可得有兩個根，此兩根為cosα，cosβ，解一元二次方程可得出cosα，cosβ的值，再解出兩角的正弦值，代入cos（α+β）的展開式，即可求cos（α+β）的值
解答：解：（1）∵
∴
令t=cosx，
當時，，且t=cosx為減函數(shù)
又在上時減函數(shù)，
∴f（x）在上是增函數(shù)
當時，，且t=cosx為減函數(shù)
又在上時增函數(shù)，
∴f（x）在上是減函數(shù)
綜上，f（x）的單調(diào)區(qū)間為，
（2）法一：由f（x）=0得，，即
令t=cosx，則cosα，cosβ是方程的兩個根，從而
sin²α•sin²β=（1-cos²α）（1-cos²β）=1-（cos²α+cos²β）+cos²α•cos²β=
∴，
∴
法二：由f（x）=0得，，即
不妨設(shè)，
則，
∴
點評：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合題，考查了平面向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的復合函數(shù)單調(diào)性判斷，解三角方程，兩角和與差的余弦函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)量積公式及三角恒等變換公式，一元二次方程的解法，根與系數(shù)的關(guān)系等知訓，本題的難點是第一問中對函數(shù)單調(diào)敬意的求解，由于本題的函數(shù)是內(nèi)層為單調(diào)性函數(shù)，外層函數(shù)不是單調(diào)性函數(shù)，解題時由外而內(nèi)，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定出內(nèi)層函數(shù)的相應單調(diào)區(qū)間即可得出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題后注意總結(jié)這類題的解題的規(guī)律，本題運算量大，綜合性強，考查了推理判斷的能力及計算能力，分類討論的思想，方程的思想