Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（I）設向量

m

=(a，b)，

n

=(b-2，a-2)，若

m

⊥

n

，求△ABC的面積；
（Ⅱ）若

sinA

cosB

＞

3

，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由向量垂直滿足的條件，根據平面向量的數量積的運算法則化簡

m

•

n

=0，得到一個關系式，然后由c和C的值，利用余弦定理表示出關于a與b的關系式，把求出的關系式代入即可求出ab的值，由ab的值及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（Ⅱ）由C的度數求出A+B的度數，用含B的式子表示出A，代入已知的式子中，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，得到tanB的范圍，由B的范圍，利用正切函數的圖象與性質即可求出B的具體范圍．

解答：解：（I）由題意可知

m

•

n

=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab．（3分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4（舍去ab=-1），
則S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

；（7分）
（Ⅱ）∵A+B=

2π

3

，
∴

sinA

cosB

=

sin( 2π 3 -B)

cosB

=

sin 2π 3 cosB-cos 2π 3 sinB

cosB

=

3

2

+

1

2

tanB＞

3

即tanB＞

3

，
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

3

＜B＜

π

2

．（14分）

點評：此題考查學生掌握平面向量垂直時滿足的條件，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，掌握正切函數的圖象與性質，是一道中檔題．