Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若不等式f（x）≤0恒成立，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，

∴ ，x＞0，

當(dāng)a≤e時(shí)，f′（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）≤0不可能恒成立，

當(dāng)a＞e時(shí)，由 ，得x= ，

∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，

當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取最大值，

f（ ）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，

∴l(xiāng)n（a﹣e）+b+1≥0，

∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），

∴ （a＞e），

令F（x）= ，x＞e，

F′（x）= = ，

令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，

H′（x）=ln（x﹣e）+1，

由H′（x）=0，得x=e+ ，

當(dāng)x∈（e+ ，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，

x∈（e，e+ ）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，

∴當(dāng)x=e+ 時(shí)，H（x）取最小值H（e+ ）=﹣e﹣ ，

∵x→e時(shí)，H（x）→0，x＞2e時(shí)，H（x）＞0，H（2e）=0，

∴當(dāng)x∈（e，2e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，

當(dāng)x∈（2e，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函九，

∴x=2e時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值，F(xiàn)（2e）= =﹣ ，

∴ 的最小值為﹣ ．

所以答案是：﹣ ．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．