Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+2，x∈[2，4]，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先對(duì)函數(shù)關(guān)系式恒等變換轉(zhuǎn)換成頂點(diǎn)式，通過對(duì)對(duì)稱軸方程與定區(qū)間的關(guān)系來求頂函數(shù)的最大值

解答： 解：函數(shù)f（x）=-x²+2ax+2=-（x-a）²+a²+2
對(duì)稱軸方程為：x=a
①當(dāng)a＞4時(shí)，由于x∈[2，4]函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
∴f（x）_max=f（4）=-14+8a
②當(dāng)2≤a≤4時(shí)，在x=a處取得最大值
∴f(x)max=f(a)=a2+2
③當(dāng)a＜2時(shí)，由于x∈[2，4]函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)
∴f（x）_max=f（2）=4a-2
綜上所述：①當(dāng)a＞4時(shí)  f（x）_max=-14+8a
②當(dāng)2≤a≤4時(shí) f(x)max=a2+2
③當(dāng)a＜2時(shí) f（x）_max=4a-2
故答案為：①當(dāng)a＞4時(shí)  f（x）_max=-14+8a
②當(dāng)2≤a≤4時(shí) f(x)max=a2+2
③當(dāng)a＜2時(shí) f（x）_max=4a-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換，對(duì)稱軸不定區(qū)間定的討論，以及相關(guān)的運(yùn)算問題．