Question

已知圓C經(jīng)過(guò)A（1，1），B（4，-2）兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)y=-2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓C截得的弦EF，以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．若存在，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）設(shè)圓心C（a，-2a），由題意得（a-1）²+（-2a-1）²=（a-4）²+（-2a+2）²，求出a，即可求出圓C的方程；
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓C截得的弦為EF，且以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m．與圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由于直線(xiàn)l與圓相交于不同兩點(diǎn)，可得△＞0，（*）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=0，解得m再代入（*）驗(yàn)證即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓心C（a，-2a），
由題意得（a-1）²+（-2a-1）²=（a-4）²+（-2a+2）²，
解得a=1，∴C（1，-2），
∴r²=（1-1）²+（-2-1）²=9，
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y+2）²=9．
（2）假設(shè)存在斜率為1的直線(xiàn)l，使l被圓C截得的弦為EF，且以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m．代入（x-1）²+（y+2）²=9，化為2x²+（2+2m）x+m²+4m-4=0．
∵直線(xiàn)l與圓相交于不同兩點(diǎn)，∴△=（2+2m）²-8（m²+4m-4）＞0，化為m²+6m-9＜0．（*）
∴x₁+x₂=-（1+m），x₁x₂=

m2+4m-4

2

．
∵

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=m²+4m-4-m（1+m）+m²=0，
解得m=-4或1，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足（*）．
∴存在斜率為1的直線(xiàn)l：y=x-4或y=x+1滿(mǎn)足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△與0的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算與向量垂直的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．